Question

已知平行四边形ABCD，点F为线段BC上一点（端点B，C除外），连接AF，AC，连接DF，并延长DF交AB的延长线于点E，连接CE．
（1）当F为BC的中点时，求证△EFC与△ABF的面积相等；
（2）当F为BC上任意一点时，△EFC与△ABF的面积还相等吗？说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先表示出S_△EFC与S_△ABF，面积，再利用△EFC与△ABF的面积相等且当F为BC的中点，所以必须证明h=h′，而h=ABsin∠ABC，h′=EBsin∠ABC，所以证明方向转化为求证EB=AB，而EB=CD，可利用证△EBF≌△DCF来解答，因此便可求证所求；
（2）由于△ABC和△CDE为等底等高三角形，所以S_△ABC=S_△CDE，又因为△ACF和△CDF同底等高，所以S_△AFC=S_△CDF．即可得出S_△ABC-S_△AFC=S_△CDE-S_△CDF，即S_△ABF=S_△EFC．

解答：解：（1）证明：∵点F为BC的中点，
∴BF=CF=

1

2

BC，
又∵BF∥AD，
∴BE=AB，
∴A，E两点到BC的距离相等，都为ABsin∠ABC，

则S_△ABF=

1

2

•BF×ABsin∠ABC，
S_△EFC=

1

2

•FC•h₁，
∵h₁=ABsin∠ABC，BF=CF，
∴S_△ABF=S_△EFC；

（2）当F为BC上任意一点时，
设BF=x，则FC=BC-x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴

BF

AD

=

BE

BE+AB

，
∴

x

BC

=

BE

BE+AB

，
∴BE=

ABx

BC-x

，
在△EFC中，FC边上的高h₁=BEsin∠ABC，
∴h₁=

ABx

BC-x

sin∠ABC，
∴S_△EFC=

1

2

FC×h₁=

1

2

（BC-x）×

ABx

BC-x

sin∠ABC=

1

2

ABxsin∠ABC，
又在△ABF中，BF边上的高h₂=ABsin∠ABC，
∴S_△ABF=

1

2

ABxsin∠ABC，
∴S_△ABF=S_△EFC．

点评：此题考查了平行四边形的基本性质和三角形全等的判定以及三角形面积求法等知识，正确的表示出各三角形的面积是解决问题的关键．