Question

已知：函数y=-

1

4

x²+x+a的图象的最高点在x轴上．
（1）求a；
（2）如图所示，设二次函数y=-

1

4

x²+x+a图象与y轴的交点为A，顶点为B，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3）在（2）中，若圆与x轴另一交点C关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=-

1

4

x²+x+a上？若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．

Answer 1

（1）依题意有△=1+a=0，
解得a=-1；

（2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x轴于点C₁；
∵y=-

1

4

x²+x-1顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点坐标为A（0，-1），
∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B，
∴PB⊥AB，则∠PBC₁=∠BAO
∴Rt△PC₁B∽Rt△BOA
∴

PC1

OB

=

BC1

AO

，故PC₁=2BC₁，
设P点的坐标为（x，y），
∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，
∴∠PBO是钝角，
∴x＞2
∴BC₁=x-2，PC₁=2x-4，
即y=4-2x，
∴P点的坐标为（x，4-2x）
∵点P在二次函数y=-

1

4

x²+x+1的图象上，
∴4-2x=-

1

4

x²+x-1，
解得：x₁=-2，x₂=10
∵x＞2，
∴x=10，
∴P点的坐标为：（10，-16）；

（3）点M不在抛物线y=-

1

4

x²+x+a上，
由（2）知：C₁为圆与x轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ=MQ，
∴QE∥MD，QE=

1

2

MD，QE⊥CE
∵CM⊥PB，QE⊥CE，PC⊥x轴
∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=

1

2

，
CE=2QE=2×2BE=4BE，
又∵CB=8，
故BE=

8

5

，QE=

16

5

，
∴Q点的坐标为（

18

5

，-

16

5

）
可求得M点的坐标为（

14

5

，-

32

5

）
∵-

1

4

×（

14

5

）²+

14

5

-1=-

144

25

≠-

32

5

，
∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y=-

1

4

x²+x+a上．