Question

如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．∠D=30°，BC=1．
（1）求⊙O的半径．
（2）求圆中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可求得∠A=30°，继而可求得答案；
（2）首先可求得OF与AC的长，继而求得∠AOC的度数，然后由S_阴影=S_扇形AOC-S_△AOC，即可求得阴影部分的面积．

解答：解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠D=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2，
∴⊙O的半径为1．

（2）连接OC，
∵OF⊥AC，∠A=30°，OA=1，
∴OF=

1

2

OA=

1

2

，
∴AF=

OA2-OF2

=

3

2

，
∴AC=2AF=

3

，
∵∠BOC=2∠A=60°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=120°，
∴S_阴影=S_扇形AOC-S_△AOC=

120×π×12

360

-

1

2

×

3

×

1

2

=

1

3

π-

3

4

．

点评：此题考查了圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．