题目内容
【题目】如图①，四边形OACB为长方形，A（﹣6，0），B（0，4），直线l为函数y＝﹣2x﹣5的图象．
（1）点C的坐标为 ；
（2）若点P在直线l上，△APB为等腰直角三角形，∠APB＝90°，求点P的坐标；
小明的思考过程如下：
第一步：添加辅助线，如图②，过点P作MN∥x轴，与y轴交于点N，与AC的延长线交于点M；
第二步：证明△MPA≌△NBP；
第三步：设NB＝m，列出关于m的方程，进而求得点P的坐标．
请你根据小明的思考过程，写出第二步和第三步的完整解答过程；
（3）若点P在直线l上，点Q在线段AC上（不与点A重合），△QPB为等腰直角三角形，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）（﹣6，4）；（2）（﹣5，5），见解析；（3）（﹣3，1）或（﹣7，9）
【解析】
(1)根据矩形的性质可以求得．
(2)由△MPA≌△NBP列出方程即可求解．
(3)分三种情形讨论①
，利用图1中
即可求出．
②
，利用图2中
即可求出．
③
，利用图3中
即可求出．
解：（1）∵四边形AOBC是矩形，
，
∴点C的坐标为
．
故答案为C．
（2）根据题意得：
，
∵
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
设
，则
，
，
，
解得：
，
∴点P的坐标为
；
（3）设点Q的坐标为
，
分3种情况讨论：
①当时，如右图，过点P作
轴于点M，点Q作
轴于点N，
,
,
在
中，
，
，
代入
，解得：
，
．
此时点Q不在线段AC时，不合题意，舍弃．
②当时，
若点P在BQ上方，即为（2）的情况，此时点Q与点A重合，由于题设中规定点Q不与点A重合，故此种情况舍去；
若点P在BQ下方，如右图，过点P作
于点N，作轴于点M，
设
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
把P坐标代入，得
，
解得：
.
此时点P的坐标为
；
③当时如右图，过点Q作
轴于点M，过点P作垂足为N，
设，
，
，
在
中，
，
，
，
，
把P坐标代入，得：
，
解得：，此时点P的坐标为
，
综上所述，点P的坐标为或．
