Question

如图，已知抛物线y=a（x-1）²-

25

3

与x轴交于A、B两点（点A在左边），且过点D（5，-3），顶点为M，直线MD交x轴于点F．
（1）求a的值；
（2）以AB为直径画⊙P，问：点D在⊙P上吗？为什么？
（3）直线MD与⊙P存在怎样的位置关系？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将D（5，-3）代入解析式即可求出a的值；
（2）求出⊙P的半径，计算出PD的长，与半径比较即可判断点D是否在⊙P上；
（3）由于MD经过半径的外端，通过勾股定理的逆定理判断出∠PDF=90°即可直线MD与⊙P相切．

解答：解：（1）把D（5，-3）代入y=a（x-1）²-

25

3

，
得：a=

1

3

．（2分）

（2）y=

1

3

（x-1）²-

25

3

，
令y=0，得：x₁=-4，x₂=6，
∴A（-4，0），B（6，0），
∴AB=10．（4分）
∵AB为⊙P的直径，
∴P（1，0），
∴⊙P的半径r=5（5分）
过点D作DE⊥x轴于点E，则E（5，0）．
∴PE=5-1=4，DE=3，
∴PD=

PE2+DE2

=5，（6分）
∴PD与⊙P的半径相等，
∴点D在⊙P上．（7分）

（3）设直线MD的函数解析式为：y=kx+b（k≠0）
把M（1，-

25

3

），D（5，-3）代入
得：

- 25 3 =k+b -3=5k+b

，
∴

k= 4 3 b=- 29 3

，
∴直线MD的函数解析式为：y=

4

3

x-

29

3

．（8分）
设直线MD与x轴交于点F，
令y=0则0=

4

3

x-

29

3

，
得x=

29

4

．
∴F（

29

4

，0），（9分）
∴EF=

29

4

-5=

9

4

，
∴DF²=EF²+DE²=

225

16

，
PF²=（OF-OP）²=（

29

4

-1）²=

625

16

，
DP²=25，
∴DP²+DF²=PF²
∴FD⊥DP，（11分）
又∵点D在⊙P上，
∴直线MD与⊙P相切．（12分）

点评：此题是一道结论开放性题目，考查了点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，通过函数解析式求出相应点的坐标及线段的长，是解答此题的必要环节．