题目内容

四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n．
（1）当AC⊥BD时（如图1），请证明，四边形ABCD的面积 $数学公式$ ；
（2）当AC、BD所夹的锐角为θ时（如图2），猜想四边形ABCD的面积S与m、n、θ的关系，并证明．

（1）证明：如图1，AC与BD的垂足为O点，

∵AC⊥BD，
∴S_△ABD= $\text{[math]}$ AO•BD，S_△CBD= $\text{[math]}$ CO•BD，
∴四边形ABCD的面积=S_△ABD+S_△CBD= $\text{[math]}$ AO•BD+ $\text{[math]}$ CO•BD= $\text{[math]}$ BD•（AO+CO）= $\text{[math]}$ BD•AC= $\text{[math]}$ mn；

（2）解：作AH⊥BD于H点，CP⊥BD于P点，AC与BD交于E点，如图2，
在RtAEH中，sinθ= $\text{[math]}$ ，即AH=AE•sinθ，
在RtCPE中，sin∠PEC= $\text{[math]}$ ，PC=CE•sin∠PEC=CE•sinθ，
∵S_△ABD= $\text{[math]}$ AH•BD，S_△CBD= $\text{[math]}$ CP•BD，
∴四边形ABCD的面积S=S_△ABD+S_△CBD= $\text{[math]}$ AH•BD+ $\text{[math]}$ CP•BD= $\text{[math]}$ AE•sinθ•BD+ $\text{[math]}$ CE•sinθ•BD= $\text{[math]}$ BD•（AE+CE）•sinθ= $\text{[math]}$ BD•AC•sinθ= $\text{[math]}$ m•n•sinθ．
分析：（1）根据三角形面积公式得到S_△ABD= $\text{[math]}$ AO•BD，S_△CBD= $\text{[math]}$ CO•BD，然后把两个三角形面积相加即可得到结论；
（2）作AH⊥BD于H点，CP⊥BD于P点，AC与BD交于E点，根据正弦的定义得到AH=AE•sinθ，PC=CE•sin∠PEC=CE•sinθ，然后再根据三角形面积公式得到S_△ABD= $\text{[math]}$ AH•BD，S_△CBD= $\text{[math]}$ CP•BD，再把两个三角形面积相加即可得到四边形ABCD的面积S= $\text{[math]}$ m•n•sinθ．
点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了三角形面积公式．