Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，点E从点C出发沿射线CA以每秒2cm的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以每秒1
cm的速度运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：AB=4$\sqrt{5}$cm；
（2）若0＜t＜4，试问：t为何值时，以E、C、F为顶点的三角形与△ABC相似；
（3）若∠ACB的平分线CG交△ECF的外接圆于点G．试探究在整个运动过程中，CE、CF、CG之间存在的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理即可求得AB的长度；
（2）0＜t＜4时，E和F分别在边AC和BC上，分成△EFC∽△ABC和△FEC∽△ABC两种情况，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
（3）分成0＜t＜4和t≥4两种情况进行讨论，当0＜t＜4时，证明△EGH≌△FGC，△CGH是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解，当t≥4时，思路相同．

解答 解：（1）在Rt△ACB中，∵∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$
故答案为4$\sqrt{5}$．

（2）由题意，EC=2t，BF=t，FC=4-t
∵∠ECF=∠ACB，∴以E、C、F为顶点的三角形与△ACB相似有两种情况：

当$\frac{EC}{AC}$=$\frac{FC}{BC}$时，△EFC∽△ABC
∴$\frac{2t}{8}$=$\frac{4-t}{4}$，解得t=2，
当$\frac{EC}{BC}$=$\frac{FC}{AC}$时，△FEC∽△ABC
∴$\frac{2t}{4}$=$\frac{4-t}{8}$，解得t=0.8，
∴当t=0.8或2秒时，以E、C、F为顶点的三角形与△ABC相似．

（3）当0＜t＜4时，过点G作GH⊥CG交AC于H．

∵∠ACB=90°，
∴EF为△ECF的外接圆的直径，
∴∠EGF=90°，
∴∠HGC=∠EGF=90°
∴∠EGH=∠FGC
∵CG平分∠ACB，
∴∠ECG=∠FCG=45°
∴$\widehat{EG}$=$\widehat{FG}$，
∴EG=FG
∵∠ECG=45°，
∴∠EHG=45°
∴∠EHG=∠FCG，
∴△EGH≌△FGC
∴EH=FC
∵∠EHG=∠ECG=45°，
∴CH=$\sqrt{2}$CG
∵CH=CE+EH，
∴CE+CF=$\sqrt{2}$CG．
当t≥4时，过点G作GM⊥CG交AC于M．

同理可得CE-CF=$\sqrt{2}$CG．

点评 本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理以及圆的弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．