Question

（2011•宝安区一模）如图，A、B、C是三座城市，A市在B市的正西方向．C市在A市北偏东60°的方向，在B市北偏东30°的方向．这三座城市之间有高速公路l₁、l₂、l₃相互贯通．小亮驾车从A市出发，以平均每小时80公里的速度沿高速公路l₂向C市驶去，3小时后小亮到达了C市．
（1）求C市到高速公路l₁的最短距离；
（2）如果小亮以相同的速度从C市沿C→B→A的路线从高速公路返回A市．那么经过多长时间后，他能回到A市？（结果精确到0.1小时）（

3

≈1.732）

Answer 1

分析：（1）过点C作CD⊥l₁于点D，得直角三角形ADC，先由已知求出AC，再根据含30度的直角三角形的性质求出C市到高速公路l₁的最短距离；
（2）解直角三角形CBD求出BC，再由已知得出三角形ABC为等腰三角形即AB=BC，从而求出经过多长时间后，他能回到A市．

解答：（1）解：过点C作CD⊥l₁于点D，由已知得 …（1分）
AC=3×80=240（km），∠CAD=30° …（2分）
∴CD=

1

2

AC=

1

2

×240=120（km）…（3分）
∴C市到高速公路l₁的最短距离是120km．…（4分）

（2）解：由已知得∠CBD=60°
在Rt△CBD中，
∵sin∠CBD=

CD

BC

∴BC=

CD

sin∠CBD

=

120

sin60°

=80

3

…（5分）
∵∠ACB=∠CBD-∠CAB=60°-30°=30°
∴∠ACB=∠CAB=30°
∴AB=BC=80

3

…（6分）
∴t=

AB+BC

80

=

80 3 +80 3

80

=2

3

≈2×1.732≈3.5…（7分）
答：经过约3.5小时后，他能回到A市．…（8分）

点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是构建直角三角形，运用含30度的直角三角形的性质、三角函数求解．