Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线：()经过点和轴上的点，，．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）联结，求；

（3）将抛物线向上平移得到抛物线，抛物线与轴分别交于点(点在点的左侧)，如果与相似，求所有符合条件的抛物线的表达式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）抛物线为：或．

【解析】

（1）根据题意，可以写出点B和点A的坐标，从而可以得到该抛物线的表达式；

（2）根据（1）中的函数解析式，可以求得点M的坐标，从而可以求得直线AM的函数解析式，从而可以求得S△AOM；

（3）根据题意，利用分类讨论的方法和三角形相似的知识可以求得点F的坐标，从而可以求得抛物线C2的表达式．

解：（1）过作轴，垂足为，

∵，∴

∵

∴，．

∵，

∴．

在中，，

∴．

∴

∵抛物线：经过点，

∴可得：，

解得：

∴这条抛物线的表达式为；

（2）过作轴，垂足为，

∵=

∴顶点是，得

设直线AM为y=kx+b，

把，代入得，解得

∴直线为

令y=0，解得x=

∴直线与轴的交点为

∴

（3）∵、，

∴在中，，

∴．

∴．由抛物线的轴对称性得：，

∴．

∵，

∴

∴．

∴当与相似时，有：或

即或，

∴或．

∴或

设向上平移后的抛物线为：，

当时，，

∴抛物线为：

当时，，

∴抛物线为：．

综上：抛物线为：或．