Question

如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，点A的坐标是（1，0），点B、C在y轴上，在x轴上是否存在点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形？如果存在，请写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：在x轴上是否存在点P（-1，0），使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．理由如下：
∵AB=AC=2，AO⊥BC，∠BAC=120°，
∴OB=OC，∠OAB=∠OAC=∠BAC=60°，
∴取A（1，0）关于y轴的对称点P（-1，0），则PB=AB，PC=AC，∠BPA=∠BAP=60°，
∴PB=AB=PC=AC，
∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．
分析：先由等腰三角形三线合一的性质得出OB=OC，∠OAB=∠OAC=60°，再取A（1，0）关于y轴的对称点P（-1，0），根据轴对称的性质得到PB=AB，PC=AC，∠BPA=∠BAP=60°，所以PB=AB=PC=AC，从而根据等腰三角形的定义得出△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．
点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，坐标与图形性质，难度适中，由等腰三角形三线合一的性质得出OB=OC，∠OAB=∠OAC=60°是解题的关键．