Question

【题目】如图，已知二次函数的图象过点．，与轴交于另一点，且对称轴是直线．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若是上的一点，作交于，当面积最大时，求的长；

（3）是轴上的点，过作轴与抛物线交于，过作轴于，当以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似时，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3）或或

【解析】

（1）先根据对称轴求出点B的坐标，然后将抛物线设成交点式，再将点A代入求解即可；

（2）设，先用待定系数法求出直线OA和直线AB的解析式，然后根据求出直线MN的解析式，再利用直线OA与直线MN联立求出N的坐标，然后利用求出面积的最大值及此时t的值，进而可求出M,N的坐标，则MN的长度可求；

（3）设，分两种情况：当时，，即；当时，，即，分别建立关于m的方程求解即可得出m的值，进而可求P的坐标．

解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线，

∴点坐标为．

设抛物线解析式为，

把代入得，

解得，

∴抛物线解析式为，

即；

（2）设，

设直线的解析式为，

把代入得，

解得，

∴直线的解析式为．

设直线的解析式为，

把代入得

，解得，

∴直线的解析式为．

∵，

∴设直线的解析式为，

把代入得，解得，

∴直线的解析式为．

将直线OA与直线MN方程联立得，

解得，

∴，

∴，

当时，有最大值3，此时，

∴ ；

（3）设，

∵，

当时，，即，

∴，即，

则，得（舍去），，此时点坐标为，

或得（舍去），，此时点坐标为；

当时，，即，

∴，即，

则得（舍去），（舍去），

或得（舍去），，此时点坐标为；

综上所述，点坐标为或或．