Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）求抛物线解析式．

（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PAC的面积有最大值是4，此时，P（-2，3）；（3）存在，

【解析】

(1)根据待定系数法，即可得到答案；

(2)设P，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，则点Q，根(3)根据三角形的面积公式，得到二次函数解析式，即可得到答案；

设，则，若以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，则或,分别求出t的值，即可得到答案.

（1）∵直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，

∴A（-4，0），C（0，2）

∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝且过A（-4，0），C（0，2），

∴ ，解得：

∴抛物线解析式为：；

（2）设P，

过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，如图，

∴点Q，

∴PQ==，

∵=，

∴当m=-2时，PAC的面积有最大值是4，此时，P（-2，3）；

（3）∵，

∴A（-4，0），C（0，2）B（1，0），

∴AB=5，AC=2，BC=，

∵，

∴AC⊥BC，

∵MN ⊥x轴，

∴若以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，则或,

设，则，

①，

∴，解得：

②，

∴，解得：

综上所述：存在使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.