Question

如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，-6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5．若P是⊙C上的一个动点，线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是（ ）
A．63
B．31
C．32
D．30

Answer 1

【答案】分析：当直线BP与圆相切时，△ABD的面积最大，易证△OBD∽△PBC，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得OD的长，则AD的长度可以求得，最后利用三角形的面积公式即可求解．
解答：解：当直线BP与圆相切时，△ABD的面积最大．
连接PC，则∠CPB=90°，
在直角△BCP中，BP===12．
∵∠CPB=90°．
∴∠DOB=∠CPB=90°
又∵∠DBP=∠CBP，
∴△OBD∽△PBC，
∴===，
∴OD=PC=．
∴AD=OD+OA=+8=，
∴S_△ABD=AD•OB=××6=31．
故选B．
点评：本题考查了切线的性质，以及相似三角形的判定与性质，理解△ADB的面积最大的条件是关键．