题目内容
（2013•鞍山二模）已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，与x轴另一交点为D，与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式；
（2）如图，连接AC，在抛物线上是否存在点P，使∠ACD+∠ACP=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，
①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否发生变化，并说明理由；
②当EF分四边形OEAF的面积为1：2两部分时，求点E的坐标．
（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式；
（2）如图，连接AC，在抛物线上是否存在点P，使∠ACD+∠ACP=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，
①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否发生变化，并说明理由；
②当EF分四边形OEAF的面积为1：2两部分时，求点E的坐标．
分析：（1）把点A、B的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）过点D作DF⊥AC于F，根据函数解析式求出点D的坐标，从而求出AD的长，再求出AC、AF、DF，然后求出CF的长，求出
，然后根据∠ACD+∠ACP=45°，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及相似三角形对应角相等，设x轴上的点G，使∠OGC=∠DCF，然后利用待定系数法求出直线CG的解析式，与抛物线联立求解即可；
（3）①根据点A、B的坐标求出直线AB与x轴的夹角是45°，从而得到∠OAF=∠OCE，再根据圆内接四边形的性质可得∠OEC=∠OFA，然后利用“角角边”证明△OCE和△OAF全等，再根据全等三角形的面积相等求出四边形OEAF的面积与△AOC的面积相等，然后列式计算即可得解；
②分情况求出△OEF的面积，再判断出△OEF是等腰直角三角形，然后利用三角形的面积求出OE2，再根据点A、C的坐标求出直线AC的解析式为y=-x+3，然后设出点E的坐标为（a，-a+3），然后利用勾股定理列式计算即可得解．
（2）过点D作DF⊥AC于F，根据函数解析式求出点D的坐标，从而求出AD的长，再求出AC、AF、DF，然后求出CF的长，求出
| DF |
| CF |
（3）①根据点A、B的坐标求出直线AB与x轴的夹角是45°，从而得到∠OAF=∠OCE，再根据圆内接四边形的性质可得∠OEC=∠OFA，然后利用“角角边”证明△OCE和△OAF全等，再根据全等三角形的面积相等求出四边形OEAF的面积与△AOC的面积相等，然后列式计算即可得解；
②分情况求出△OEF的面积，再判断出△OEF是等腰直角三角形，然后利用三角形的面积求出OE2，再根据点A、C的坐标求出直线AC的解析式为y=-x+3，然后设出点E的坐标为（a，-a+3），然后利用勾股定理列式计算即可得解．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，
∴
，
解得
，
∴抛物线的关系式为y=
x2-
x+3；
（2）过点D作DF⊥AC于F，
令y=0，则
x2-
x+3=0，
整理得，x2-5x+6=0，
解得x1=2，x2=3，
∴点D坐标为（2，0），AD=1，
令x=0，则y=3，
∴点C坐标为（0，3），
∴OC=OA=3，
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴AC=
=
=3
，
AF=DF=
×AD=
，
∴CF=AC-AF=3
-
=
，
∴
=
=
，
∵∠ACD+∠ACP=45°，
∴设G（15，0），
则
=
=
，
CG与抛物线的交点为点P，
设直线CG的解析式为y=kx+b，
则
，
解得
，
∴y=-
x+3，
联立
，
解得
，
（为点C坐标，舍去），
∴点P坐标为（
，
）；
（3）①∵A（3，0），B（4，1），
∴直线AB与x轴的夹角为45°，
∴∠OAF=45°，
∴∠OAF=∠OCE=45°，
∵四边形OEAF是圆内接四边形，
∴∠OEC=∠OFA，
在△OCE和△OAF中，
，
∴△OCE≌△OAF（AAS），
∴S△OCE=S△OAF，
∴四边形OEAF的面积=△OAC的面积=
×3×3=
；
②∵EF分四边形OEAF的面积为1：2两部分，
∴△OEF的面积为：
×
=
或
×
=3，
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴OE=OF，
∴
OE•OF=
OE2=
或3，
∴OE2=3或OE2=6，
易求直线AC的解析式为y=-x+3，
设出点E的坐标为（a，-a+3），
则OE2=a2+（-a+3）2=2a2-6a+9，
（i）OE2=3时，2a2-6a+9=3，
整理得，a2-3a+3=0，
△=（-3）2-4×1×3=-3＜0，
此时方程无解；
（ii）OE2=6时，2a2-6a+9=6，
整理得，2a2-6a+3=0，
解得a=
=
，
-a+3=-
+3=
，
或-a+3=-
+3=
，
∴点E（
，
）或（
，
）．
∴
|
解得
|
∴抛物线的关系式为y=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
（2）过点D作DF⊥AC于F，
令y=0，则
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
整理得，x2-5x+6=0，
解得x1=2，x2=3，
∴点D坐标为（2，0），AD=1，
令x=0，则y=3，
∴点C坐标为（0，3），
∴OC=OA=3，
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴AC=
| OA2+OC2 |
| 32+32 |
| 2 |
AF=DF=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴CF=AC-AF=3
| 2 |
| ||
| 2 |
5
| ||
| 2 |
∴
| DF |
| CF |
| ||||
|
| 1 |
| 5 |
∵∠ACD+∠ACP=45°，
∴设G（15，0），
则
| OC |
| OG |
| 3 |
| 15 |
| 1 |
| 5 |
CG与抛物线的交点为点P，
设直线CG的解析式为y=kx+b，
则
|
解得
|
∴y=-
| 1 |
| 5 |
联立
|
解得
|
|
∴点P坐标为（
| 23 |
| 5 |
| 52 |
| 25 |
（3）①∵A（3，0），B（4，1），
∴直线AB与x轴的夹角为45°，
∴∠OAF=45°，
∴∠OAF=∠OCE=45°，
∵四边形OEAF是圆内接四边形，
∴∠OEC=∠OFA，
在△OCE和△OAF中，
|
∴△OCE≌△OAF（AAS），
∴S△OCE=S△OAF，
∴四边形OEAF的面积=△OAC的面积=
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
②∵EF分四边形OEAF的面积为1：2两部分，
∴△OEF的面积为：
| 9 |
| 2 |
| 1 |
| 1+2 |
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
| 2 |
| 1+2 |
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴OE=OF，
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴OE2=3或OE2=6，
易求直线AC的解析式为y=-x+3，
设出点E的坐标为（a，-a+3），
则OE2=a2+（-a+3）2=2a2-6a+9，
（i）OE2=3时，2a2-6a+9=3，
整理得，a2-3a+3=0，
△=（-3）2-4×1×3=-3＜0，
此时方程无解；
（ii）OE2=6时，2a2-6a+9=6，
整理得，2a2-6a+3=0，
解得a=
6±
| ||
| 2×2 |
3±
| ||
| 2 |
-a+3=-
3+
| ||
| 2 |
3-
| ||
| 2 |
或-a+3=-
3-
| ||
| 2 |
3+
| ||
| 2 |
∴点E（
3+
| ||
| 2 |
3-
| ||
| 2 |
3-
| ||
| 2 |
3+
| ||
| 2 |
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的应用，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，综合性较强，难度较大，熟练掌握各性质是解题的关键．
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