题目内容
如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证：PA•PB=PC•PD．分析：连接AC，DB，设AB与CD交于点P，由同弧所对的圆周角相等可得一对角相等，再由对顶角相等，根据两角对应相等的两三角形相似，可得三角形APC与三角形BPD相似，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，变形后即可得证．
解答：证明：连接AC、DB，
∵
=
，
∴∠A=∠D，
又∵∠APC=∠DPB，
∴△APC∽△DPB，
∴
=
，
∴PA•PB=PC•PD．
∵
 |
| BC |
|
| BC |
∴∠A=∠D，
又∵∠APC=∠DPB，
∴△APC∽△DPB，
∴
| PA |
| PD |
| PC |
| PB |
∴PA•PB=PC•PD．
点评：此题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，对于乘积形式的证明，常常将乘积形式化为比例式，利用相似三角形来解决，证明相似三角形的常用方法有：两对对应角相等的两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似．
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