Question

如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D是劣弧

BC

的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；
（1）求证：OE=

1

2

AC；
（2）求证：

DP

AP

=

BD2

AC2

；
（3）当AC=6，AB=10时，求切线PC的长．

Answer 1

分析：（1）由于D是弧BC的中点，利用垂径定理的推论，可证OD⊥BC，而AC⊥BC，故OD∥AC，又O是AB中点，利用平行线分线段成比例定理的推论，可得BE：CE=OB：OA，从而可知E是BC中点，即OE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可证OE=

1

2

AC；
（2）利用两组角对应相等，易证△PCD∽△PAC，那么可得2组有关比例线段，利用等式性质可证；
（3）由AC=6，AB=10，利用勾股定理可求BC，进而求出BE、OE、DE，再利用勾股定理可求BD²、AD²，从而解出AD、BD、CD，结合（2）中的结论，利用比例性质，可求出DP、AP，那么可求CP²，从而求出CP．

解答：（1）证明：∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∴AC⊥BC
又D为

BC

中点，
∴OD⊥BC，OD∥AC，
又O为AB中点，
∴OE=

1

2

AC；（4分）

（2）证明：连接CD，PC为切线，
由∠PCD=∠CAP，∠P为公共角，
∴△PCD∽△PAC，（6分）
∴

PC

PA

=

CD

AC

，

PD

PC

=

CD

AC

，
又CD=BD，
∴

DP

AP

=

BD2

AC2

；（8分）

（3）解：∵AC=6，AB=10，
∴BC=8，BE=4，OE=3，
∴DE=2，
∴BD²=DE²+BE²=20，（9分）
∴AD²=AB²-BD²=80，
∴AD=4

5

，（10分）
CD=BD=2

5

，
由（2）

DP

DP+4 5

=

5

9

，

DP

4 5

=

5

4

，
∴DP=5

5

，AP=9

5

，（11分）
∴CP²=DP•AP=45×5，
∴切线PC=15．（12分）

点评：本题利用了垂径定理的推论、平行线分线段成比例定理的推论、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质、等式的性质、勾股定理、比例的性质、切割线定理等知识．