Question

已知正方形ABCD的边长为1，O为其对角线交点，若保持AB不动，将正方形向顺时针方向压扁，得到菱形ABC′D′（如图）．若∠BAD′=30°，则点O运动的路程为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：取AB中点F，连接OF、O′F，根据四边形ABCD是正方形，得到OF⊥AB，由菱形的性质可得：AC⊥BD′，在Rt△AO′B中，F是中点，则O′F=AB，AB是定值，于是知点O运动的轨迹是一段圆弧，求出圆心角半径即可求出弧长．
解答：解：取AB中点F，连接OF、O′F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OF⊥AB，OF=，
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴∠D′AB=∠BAD′=∠BAC=15°，
在Rt△AO′B中，F是中点，
∴O′F=AF=AB，
∴点O运动的轨迹是一段圆弧，
∴∠O′FB=2∠O′AB=30°，
∴∠OFO′=60°，
∴点O运动的路程s=•OF=，
故选B．
点评：本题主要考查正方形的性质和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是求出点O运动的轨迹是一段圆弧，此题难度较大．