Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AD=2

3

，AC=3．
（1）求∠B；
（2）求S_△ABC．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形ABC中，由AD与AC的长，利用勾股定理求出CD的长，可得出CD为斜边AD的一半，利用直角三角形中一直角边等于斜边的一半，此直角边所对的角为30°，可得出∠CAD=30°，再由AD为角平分线得到一对角相等，都为30°，可得出∠CAB的度数，利用直角三角形的两锐角互余可得出∠B的度数；
（2）由（1）得出∠BCD=∠B，利用等角对等边得到AD=BD，由AD的长求出BD的长，再由CD+BD求出CB的长，直角三角形ABC的面积等于两直角边乘积的一半，求出即可．

解答：解：（1）在Rt△ACD中，∠C=90°，AD=2

3

，AC=3，
根据勾股定理得：CD=

AD2-AC2

=

3

，
∴CD=

1

2

AD，
∴∠CAD=30°，
又AD为∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠BAD=30°，即∠CAB=2∠CAD=60°，
则∠B=90°-60°=30°；
（2）∵∠BAD=∠B=30°，
∴AD=BD=2

3

，又CD=

3

，
∴CB=CD+BD=3

3

，
则S_△ABC=

1

2

AC•CB=

1

2

×3×3

3

=

9 3

2

．

点评：此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：勾股定理，角平分线定义，直角三角形的性质，以及三角形面积的求法，找出已知与未知的关系是解三角形的关键．