Question

如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，且BC∥AO，其中A（6，0），B（3，），∠AOC=60°，动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P，Q运动的时间为t（秒）．

（1）求点C的坐标及梯形ABCO的面积；
（2）当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）以O，P，Q为顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）   （2）（）  （3）当t=1或t=2时，△OPQ为直角三角形

试题分析：（1）作CM⊥OA于点M,知CM,由∠AOC=60°易求BM=1，求出C点坐标；由B点坐标可求BC的长，从而梯形面积可求；
（2）用含有t的代数式分别表示△OPQ的高和底，求出△OPQ的的面积即可表示出S与运动时间t的函数关系式；
（3）分点Q分别在边BC、OC、OA上运动时进行讨论，即可求出t的值.
试题解析:（1）作CM⊥OA于点M,
∵∠AOC=60°，∴∠OCM=30°，
∵B（3，），BC∥AO，∴CM,
设OM=，则OC=，∴
解得，∴OM=1，OC=2，
∴C（1，），
∵B（3，），∴BC=2，
∵A（6，0），∴OA=6，
∴,
(2)如图1，当动点Q运动到OC边时，OQ=，
作QG⊥OP，∴∠OQG=30°，

∴，∴，
又∵OP=2t，
∴
（）；
（3）根据题意得出：，
当时，Q在BC边上运动，延长BC交y轴于点D，
此时OP=2t，，，
∵∠POQ＜∠POC=60°，
∴若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，
若∠OPQ=90°，如图2，则∠PQD=90°，

∴四边形PQDO为矩形，
∴OP=QD，∴2t=3-t，
解得t=1，
若∠OQP=90°，如图3，则OQ²+PQ²=PO²，

即，
解得：t₁=t₂=2，
当时，Q在OC边上运动，
若∠OQP=90°，
∵∠POQ=60°，∴∠OPQ=30°，
∴，
若∠OPQ=90°,同理：,
而此时OP=2t＞4，OQ＜OC=2，
∴，,
故当Q在OC边上运动时，△OPQ不可能为直角三角形，
综上所述，当t=1或t=2时，△OPQ为直角三角形。
考点: 1.二次函数；2.直角三角形的判定.