题目内容
【题目】已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．
（1）求c1的解析式；
（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；
（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；
（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．
【答案】（1）
；（2）
；（3）①4；②3；③3＜n＜4或n＜3；（4）（﹣5，0）或（3﹣
，0）或（3+，0）或（﹣1，0）．
【解析】
试题分析：（1）设抛物线c1的解析式为
，把D（0，3）代入即可得到结论；
（2）解方程组得到
，由于直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，于是得到△=9﹣4m+12=0，即可得到结论；
（3）根据轴对称的性质得到抛物线c2的解析式为：
，根据图象即可刚刚结论；
（4）求得B（3，0），得到OB=3，根据勾股定理得到AB的长，①当AP=AB，②当AB=BP=
时，③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，于是得到结论．
试题解析：（1）∵抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），∴设抛物线c1的解析式为，把D（0，3）代入得3=a+4，∴a=﹣1，∴抛物线c1的解析式为：
，即；
（2）解
得，∵直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，∴△=9﹣4m+12=0，∴m=；
（3）∵抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，∴抛物线c2的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点为（0，3），∴抛物线c2的解析式为：，∴①当直线l2过抛物线c1的顶点（﹣1，4）和抛物线记作c2的顶点（1，4）时，即n=4时，l2与c1和c2共有两个交点；
②当直线l2过D（0，3）时，即n=3时，l2与c1和c2共有三个交点；
③当3＜n＜4或n＜3时，l2与c1和c2共有四个交点；
（4）如图，∵若c2与x轴正半轴交于B，∴B（3，0），∴OB=3，∴AB=
=：
①当AP=AB=时，PB=8，∴P1（﹣5，0）；
②当AB=BP=时，P2（3﹣，0）或P3（3+，0）；
③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB=4，∴P4（﹣1，0）．
综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（3﹣，0）或（3+，0）或（﹣1，0）时，△PAB为等腰三角形．
