Question

【题目】已知△ABC，AB=AC=5，BC=8，∠PDQ的顶点D在BC边上，DP交AB边于点E，DQ交AB边于点O且交CA的延长线于点F（点F与点A不重合），设∠PDQ=∠B，BD=3．

（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）设BE=x，OA=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当△AOF是等腰三角形时，求BE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠EDC=∠B+∠BED，

∴∠FDC+∠EDO=∠B+∠BED，

∵∠EDO=∠B，

∴∠BED=∠EDC，

∵∠B=∠C，

∴△BDE∽△CFD

（2）

解：过点D作DM∥AB交AC于M（如图1中）．

∵△BDE∽△CFD，

∴ ，∵BC=8，BD=3，BE=x，

∴ ，

∴FC= ，

∵DM∥AB，

∴ ，即 = ，

∴DM= ，

∵DM∥AB，

∴∠B=∠MDC，

∴∠MDC=∠C，

∴CM=DM= ，FM= ﹣ ，

∵DM∥AB，

∴ = ，即 = ，

∴y= （0＜x＜3）

（3）

解：①当AO=AF时，

由（2）可知AO=y= ，AF=FC﹣AC= ﹣5，

∴ = ﹣5，解得x= ．

∴BE=

②当FO=FA时，易知DO=AM= ，作DH⊥AB于H（如图2中），

BH=BDcos∠B=3× = ，

DH=BDsin∠B=3× = ，

∴HO= = ，

∴OA=AB﹣BH﹣HO= ，

由（2）可知y= ，即 = ，解得x= ，

∴BE= ．

③当OA=OF时，设DP与CA的延长线交于点N（如图3中）．

∴∠OAF=∠OFA，∠B=∠C=∠ANE，

由△ABC≌△CDN，可得CN=BC=8，ND=5，

由△BDE≌△NAE，可得NE=BE=x，ED=5﹣x，

作EG⊥BC于G，则BG= x，EG= x，

∴GD= ，

∴BG+GD= x+ =3，

∴x= ＞3（舍弃），

综上所述，当△OAF是等腰三角形时，BE= 或

【解析】（1）根据两角对应相等两三角形相似即可证明．（2）过点D作DM∥AB交AC于M（如图1中）．由△BDE∽△CFD，得 ，推出FC= ，由DM∥AB，得 ，推出DM= ，由DM∥AB，推出∠B=∠MDC，∠MDC=∠C，CM=DM= ，FM= ﹣ ，于DM∥AB，得 ，代入化简即可．（3）分三种情形讨论①当AO=AF时，②当FO=FA时，③当OA=OF时，分别计算即可．