Question

如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点在正半轴上，且．动点在线段上从点向点以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒．在轴上取两点作等边．

（1）求直线的解析式；

（2）求等边的边长（用的代数式表示），并求出当等边的顶点运动到与原点重合时的值；

（3）如果取的中点，以为边在内部作如图2所示的矩形，点在线段上．设等边和矩形重叠部分的面积为，请求出当秒时与的函数关系式，并求出的最大值．

Answer 1

解：（1）直线的解析式为：．

（2）方法一，，，，

，，

是等边三角形，，

，．

方法二，如图，

过分别作轴于，轴于，

可求得，

，

，

当点与点重合时，

，．，

．

（3）①当时，见图．

设交于点，重叠部分为直角梯形，作于．

，，，

，，

，，

，

．

随的增大而增大，

当时，．

②当时，见图．

设交于点，交于点，交于点，重叠部分为五边形．

方法一，作于，，

，

，

    方法二，由题意可得，，，，

再计算

，

．

，当时，有最大值，．

③当时，，即与重合，

设交于点，交于点，重叠部分为等腰梯形，见图．

，

综上所述：当时，；

当时，；

当时，．

，

的最大值是．