Question

如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=4，Q是DC边的中点，P为一动点，若点P从B点出发，以1个单位/秒的速度沿着B→C方向运动．设从点B出发运动了x秒，
（1）写出△AQP的面积y关于x的函数关系式．并求出自变量x的取值范围；
（2）问当x取何值时，△AQP是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）将△AQP的面积转化为长方形ABCD的面积与其余三个三角形的面积的差；
（2）先确定△AQP是等腰三角形时P点的位置，根据位置求x的值．

解答：解：（1）y=4×2-

1

2

×2x-4×1×

1

2

-4×

1

2

×1=4-

x

2

，（0≤x≤4）．

（2）①当P位于P₁时，有（AP₁）²=（QP₁）²，
根据勾股定理得：2²+x²=（4-x）²+1²，解得x=

13

8

；
②当P位于B时，为等腰三角形，此时x=0；
③当P位于P₂时，有（AP₂）²=（QA）²，根据勾股定理得：4²+1²=x²+2²，解得x=

13

．
当x为0秒或

13

8

秒或

13

秒时，△AQP是等腰三角形．

点评：本题是一个动点问题，考查了对函数概念的理解以及如何将图形的变化转化为函数问题．题目将图形和函数有机结合，体现了数形结合思想在数学中的重要作用．