Question

如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接CF.
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若∠CAF=45°，BC=4，CF=，求△CAF的面积.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）3.

试题分析：（1）根据平行四边形的定义即可证得.
（2）由平行四边形的性质得AF=BD=2，过点F作FG⊥AC于G点，从而由等腰直角三角形的性质得AG=GF=，在Rt△FGC中应用勾股定理求得GC的长，即可得AC=AG+GC=，从而求得△CAF的面积.
试题解析：（1）∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE∥AB.
∵AF∥BC,
∴四边形ABDF是平行四边形.
（2）如图，过点F作FG⊥AC于G点.
∵BC=4，点D是边BC的中点，∴BD=2.
由（1）可知四边形ABDF是平行四边形，∴AF=BD=2.
∵∠CAF=45°，∴AG=GF=.
在Rt△FGC中，∠FGC=90°, GF=，CF=，
∴GC=.
∴AC=AG+GC=.
∴.