Question

如图，抛物线y=-

3

4

x²+3与x轴交于点A，点B，与直线y=-

3

4

x+b相交于点B，点C，直线y=-

3

4

x+b与y轴交于点E．
（1）写出直线BC的解析式．
（2）求△ABC的面积．
（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

分析：（1）令y=0代入y=-

3

4

x²+3求出点A，B的坐标．把B点坐标代入y=-

3

4

x+b求出BC的解析式．
（2）联立方程组求出B．C的坐标．求出AB，CD的长后可求出三角形ABC的面积．
（3）过N点作NP⊥MB，证明△BNP∽△BEO，由已知令y=0求出点E的坐标，利用线段比求出NP，BE的长．求出S与t的函数关系式后利用二次函数的性质求出S的最大值．

解答：解：（1）在y=-

3

4

x²+3中，令y=0
∴-

3

4

x²+3=0
∴x₁=2，x₂=-2
∴A（-2，0），B（2，0）（2分）
又点B在y=-

3

4

x+b上
∴0=-

3

2

+b，b=

3

2

∴BC的解析式为y=-

3

4

x+

3

2

．（2分）

（2）由

y=- 3 4 x2+3 y=- 3 4 x+ 3 2

，
得

x1=-1 y1= 9 4

，

x2=2 y2=0

．
∴C(-1，

9

4

)，B（2，0），（2分）
∴AB=4，CD=

9

4

，
∴S△ABC=

1

2

×4×

9

4

=

9

2

．（2分）

（3）过点N作NP⊥MB于点P
∵EO⊥MB
∴NP∥EO
∴△BNP∽△BEO
∴

BN

BE

=

NP

EO

（1分）
由直线y=-

3

4

x+

3

2

可得：E(0，

3

2

)
∴在△BEO中，BO=2，EO=

3

2

，则BE=

5

2

∴

2t

5 2

=

NP

3 2

，
∴NP=

6

5

t（1分）
∴S=

1

2

.

6

5

t．（4-t）=-

3

5

t²+

12

5

t（0＜t＜4）=-

3

5

（t-2）²+

12

5

（1分）
∵此抛物线开口向下，
∴当t=2时，S_最大=

12

5

∴当点M运动2秒时，△MNB的面积达到最大，最大为

12

5

．（1分）

点评：本题考查的是二次函数图象与应用相结合的综合题，以及三角形面积的计算方法，难度较大．