Question

【题目】如图1，两半径为r的等圆⊙O1和⊙O2相交于M，N两点，且⊙O2过点O1．过M点作直线AB垂直于MN，分别交⊙O1和⊙O2于A，B两点，连接NA，NB．

（1）猜想点O2与⊙O1有什么位置关系，并给出证明；

（2）猜想△NAB的形状，并给出证明；

（3）如图2，若过M的点所在的直线AB不垂直于MN，且点A，B在点M的两侧，那么（2）中的结论是否成立，若成立请给出证明．

Answer 1

【答案】（1）O2在⊙O1上（2）△NAB是等边三角形（3）仍然成立

【解析】试题分析：（1）通过证明圆心距等于半径得出点在上；
（2）通过证明 从而得到是等边三角形；
（3）根据在同圆中等弧所对的圆周角相等，可求出从求证得是等边三角形．

试题解析：(1) 在上，

证明：∵过点，

又∵的半径也是r，

∴点在上；

(2)△NAB是等边三角形，

证明：∵MN⊥AB，

∴BN是的直径,AN是的直径，

即BN=AN=2r, 在BN上, 在AN上.

连接,则是△ABN的中位线。

∴AB=BN=AN，则△NAB是等边三角形.

(3)仍然成立.

证明：由(2)得，△NAB是等边三角形，

∴在中, 所对的圆周角为,在中所对的圆周角为，

∴当点A，B在点M的两侧时，

在中所对的圆周角

在中所对的圆周角

∴△NAB是等边三角形.