Question

（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；

（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+4；

（2）PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m

（3）m的值为﹣1或﹣．

【解析】

试题分析：（1）把点A（1，0），点B（0，4）代入y=﹣x2+bx+c，得方程组，然后解方程再即可；（2）由PE⊥x轴可知点P与点E的横坐标相同x=m，代入（1）中函数解析式y=﹣x2﹣x+4可得点P的纵坐标，然后根据PG=PE-EG代入化简即可；（3）求出直线BD的解析式，然后用含m的代数式表示PG、HE、DE、DH的长度，然后分△BGP∽△DEH和△PGB∽△DEH，两种情况，利用相似三角形的性质对应边成比例得出关于m的方程，然后解方程即可.

试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4），∴，

解得，∴抛物线的解析式为；

（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，

∴P（m，，G（m，4），∴PG=；

点P在直线BC上方时，故需要求出抛物线与直线BC的交点，

令4=，解得m=-2或0，即m的取值范围：-2＜m＜0，

PG的长度为：（-2＜m＜0）；

（3）在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似．

∵y=，

∴当y=0时，=0，

解得x=1或-3，

∴D（-3，0）．

当点P在直线BC上方时，-2＜m＜0．

设直线BD的解析式为y=kx+4，

将D（-3，0）代入，得-3k+4=0， 解得k= ，

∴直线BD的解析式为y=x+4，∴H（m，m+4）．

分两种情况：

①如果△BGP∽△DEH，那么 ，

即 ，

解得m=0或-1，由-2＜m＜0，故m=-1；

②如果△PGB∽△DEH，那么 ，

即 ，

由-2＜m＜0，解得m=- ．

综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为-1或- ．

考点：1.待定系数法求解析式；2.相似三角形的判定与性质；3.二次函数与几何知识的综合.

考点分析： 考点1：二次函数 定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。 二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。

二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；
②自变量的最高次数是2；
③二次项系数不等于零。 二次函数的判定：
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。 试题属性

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