Question

【题目】在中，，过点作直线，将绕点C顺时针旋转得到（点的对应点分别是），射线分别交直线于点．

（1）问题发现：如图1所示，若与重合，则的度数为_________________

（2）类比探究：如图2，所示，设与的交点为M，当M为中点时，求线段的长；

（3）拓展延伸：在旋转过程中，当点分别在的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值，若存在，直接写出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到BC=，依据∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB=，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；

（2）根据M为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM，进而得到PB= ，依据tan∠BQC=tan∠A=，即可得到BQ=BC×=2，进而得出PQ=PB+BQ=；

（3）依据S四边形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-，即可得到S四边形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ=PQ×BC=PQ，利用几何法或代数法即可得到S△PCQ的最小值=3，S四边形PA'B′Q=3-．

解（1）由旋转得：，

，

， ，

，

，

；

(2)因为M是中点，所以，

，

，

，

．

∵∠PCQ=∠PBC=90°，

∴∠BQC+∠BPC=∠BCP+∠BPC=90°，

∴∠BQC=∠BCP=∠A，

，

，

；

(3) ，

最小，即最小，

，

取PQ的中点G，

，即PQ=2CG，

当最小时， 最小，

， 与重合，最小，

∵的最小值为，．