Question

阅读材料：设一元二次方程ax²+bx+c=0的两根为x₁，x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：，x₁x₂=．
根据该材料解题：
关于x的方程有两个不相等的实数根．
①求k的取值范围．
②是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵△=（k+2）²-4k•＞0，
∴k＞-1，
又∵k≠0，
∴k的取值范围是k＞-1，且k≠0；
（2）不存在符合条件的实数k．理由如下：
设方程kx²+（k+2）x+=0的两根分别为x₁、x₂，由根与系数关系有：x₁+x₂=，x₁•x₂=，
而，
∴=0，
∴k=-2，
由（1）知，k=-2时，△＜0，原方程无实解，
∴不存在符合条件的k的值．
分析：（1）根据根的判别式得到k≠0，且△=（k+2）²-4k•＞0，然后求出它们的公共部分即可得到k的取值范围是k＞-1，且k≠0；
（2）设方程kx²+（k+2）x+=0的两根分别为x₁、x₂，由根与系数关系有：x₁+x₂=，x₁•x₂=，当，得到k=-2，不满足（1）中的条件，所以不存在符合条件的k的值．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程的根的判别式．