Question

如图，矩形ABCD，AB=2，AD=3，点P为AD上一点，PE⊥PC，交AB于E点，点Q在AP上不与P点重合，且QE⊥QC，
（1）求证：AP•DP=AE•DC；
（2）求AP+AQ的值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠A=∠D=90°，
∵PE⊥PC，
∴∠EPC=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°，∠APE+∠DPC=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∵∠A=∠D，
∴△AEP∽△DPC，
∴=，
∴AP•DP=AE•DC．

（2）解：连接CE，取CE中点F，过F作FG∥CD交AD于G，
∵AB∥CD，∠A=90°，
∴AE∥FG∥CD，
∴AG=DGAD=，FG⊥AD，
∵QE⊥CE，PE⊥PC，
∴∠EQC=∠EPC=90°，
∵F为CE中点，
∴QF=CE，PF=CE，
∴QF=PF，
∵FG⊥AD，
∴QG=PG，
∴AP+AQ=AG+GP+AG-GQ=2AG=2×=3．
分析：（1）求出∠A=∠D，∠AEP=∠DPC，证出△AEP∽△DPC即可．
（2）连接CE，取CE中点F，过F作FG∥CD交AD于G，求出AG=DG，求出QF=PF，根据等腰三角形性质得出QG=PG，即可得出答案．
点评：本题考查了矩形性质，直角三角形斜边上中线性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．