Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠A＝，点O是线段AC上一动点（不与点A，点C重合），以OC为半径的⊙O与线段BC的另一个交点为D，作DE⊥AB于E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）当⊙O与AB相切于点F时，求⊙O的半径；

（3）在（2）的条件下，连接OB交DE于点M，点G在线段EF上，连接GO．若∠GOM＝45°，求DM和FG的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）r＝；（3）DM＝，FG=

【解析】

（1）连接OD，根据等腰三角形判断出∠ABC＝∠ACB，进而得到OD∥AB即可得到求证；

（2）连接OF，根据切线得到△AOF是直角三角形，根据tan∠A＝，设半径OF=OC=r,则可表示出AF=r，AO=10-r，勾股定理求出半径即可得到结果；

（3）现根据题意证出ODEF是正方形，求出BE,再根据△BEM∽△ODM，即可得到MD；在EF延长线上截取FT＝DM，证明出OT=OM，再证明△OGT≌△OGM，则GM＝GT＝GF＋FT＝GF＋DM，设出GF＝a，根据勾股定理求解即可．

解：（1）证明：连接OD

∵OC，OD均为⊙O的半径，

∴OC＝OD，

∴∠DCO＝∠CDO

又∵在△ABC中，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB

∴∠ABC＝∠CDO，

∴OD∥AB

∵DE⊥AB，

∴DE⊥OD

∴DE是⊙O的切线．

（2）解：连接OF，设⊙O的半径为r，则OF＝r，OC＝r

∵⊙O与AB相切于点F，

∴AB⊥OF，

∴∠OFA＝90°，

在Rt△AOF中，∠OFA＝90°，OF＝r，tan∠A＝

∴AF＝r，

∴AO＝r

又∵AO＝AC－OC＝10－r，

∴r＝10－r

∴ r＝．

（3）由（2）知r＝ ，

∴AF＝r＝

∵∠ODE＝∠DEF＝∠OFE＝90°，

∴四边形ODEF是矩形

∵OF＝OD，

∴矩形ODEF是正方形，

∴DE＝EF＝OF＝

∴BE＝AB－AF－EF＝10－-＝

∵∠BME＝∠OMD，∠BEM＝∠ODM＝90°

∴△BEM∽△ODM，

∴

即 ＝ ，解得DM＝

在EF延长线上截取FT＝DM

∵四边形ODEF是正方形，

∴∠OFT＝∠ODM＝90°，OF＝OD

∴△OFT≌△ODM，

∴∠2＝∠1，OT＝OM

∵∠DOF＝90°，∠GOM＝45°，

∴∠GOF＋∠1＝45°，

∴∠GOF＋∠2＝45°

即∠GOT＝45°，

∴∠GOT＝∠GOM

又OG＝OG，

∴△OGT≌△OGM，

∴GM＝GT＝GF＋FT＝GF＋DM

设GF＝a，则EG＝ －a，GM＝ ＋a，且EM＝DE－DM＝－＝

在Rt△EMG中，EM 2＋EG 2＝GM 2，即()2＋(－a )2＝(＋a )2，解得a＝

∴FG的长为．