题目内容

如图，一次函数y=kx+b（b＜0）的图象与反比例函数y= $数学公式$ 的图象交于点P，点P在第一象限，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S_△PAC=1， $数学公式$ ，tan∠ACP= $数学公式$ ．
（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式：
（3）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．

解：（1）由一次函数y=kx+b可知，D点坐标为（0，b），即OD=-b．
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OB=- $\text{[math]}$ b．
∵PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，
∴四边形OAPB为矩形．
∴PA=0B=- $\text{[math]}$ b．
在Rt△PAC中，tan∠ACP= $\text{[math]}$ ，
∴AC=-b，
∵S_△PAC=1，
∴b=-2，即D点坐标为（0，-2）；

（2）在Rt△ODC，tan∠OCD=tan∠ACP= $\text{[math]}$ ，
∴OC=2OD=4，OA=6，
∴P点的坐标为（6，1），
∴一次函数与反比例函数的解析式分别为y= $\text{[math]}$ x-2、y= $\text{[math]}$ ；

（3）由图象可知，一次函数与反比例函数图象的交点为P（6，1），
当0＜x＜6时一次函数的值小于反比例函数的值．
分析：（1）由一次函数y=kx+b可知，D点坐标为（0，b），即OD=-b，结合tan∠ACP= $\text{[math]}$ ，S_△PAC=1，求出b的值，D点的坐标即可求出；
（2）在Rt△ODC，tan∠OCD=tan∠ACP= $\text{[math]}$ ，再求出P点坐标，于是可以求出一次函数与反比例函数的解析式；
（3）由两函数的图象直接写出x的取值范围即可．
点评：本题是一道反比例函数的综合试题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式和求一次函数的解析式，由图象特征确定自变量的取值范围．