Question

24、（1）设1，2，3，…，9的任一排列为a_l，a₂，a₃…，a₉．求证：（a_ll一1）（ a₂-2）…（a₉-9）是一个偶数．
（2）在数1¹，2²，3³，4⁴，5⁴，…2002²⁰⁰²，2003²⁰⁰³，这些数的前面任意放置“+”或“一”号，并顺次完成所指出的运算，求出代数和，证明：这个代数和必定不等于2003．

Answer 1

分析：（1）转换角度考查问题，用反证法求证；
（2）由于任意添“十”号或“一”号，形式多样，因此不可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质人手．

解答：解：（1）用反证法．
假设（a1-1）（a2-2）…（a9-9）为奇数，则a1-1，a2-2，…，a9-9都为奇数，
则a₁，a₃，a₅，a₇，a₉为偶数，a₂，a₄，a₆，a₈为奇数，
而1-9是5个奇数、4个偶数，
奇偶数矛盾，因此假设不成立．
（2）∵1¹，2²，3³，4⁴，5⁴，…2002²⁰⁰²，2003²⁰⁰³，与1，2，3，4，5，…2002，2003的奇偶性相同，
∴在1¹，2²，3³，4⁴，5⁴，…2002²⁰⁰²，2003²⁰⁰³的任意数前加“+”或“-”的奇偶性 与在1，2，3，4，5，…2002，2003的任意数前加“+”或“-”的的奇偶性相同，
∵两个整数的和与差的奇偶性相同，且1+2+3+4+5+…+2003=2003×（2003+1）÷2=2003×1002是偶数，
∴这个代数式的和应为偶数，
即这个代数式的和必定不等于2003．

点评：此题考查整数的奇偶性，注意“两个整数的和与差的奇偶性相同”的应用．