题目内容
如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，B为切点，OC平行于弦AD，连接CD．过点D作DE⊥AB于E，交AC于点P，求证：点P平分线段DE．
分析：本题从切线的判定和性质出发，先判定△ODC≌△OBC，从平行线得到线段的比，从而证得．
解答：
证明：先证明CD是⊙O的切线．
连接OD，
∵OC∥AD，
∴∠1=∠ADO，∠2=∠DAO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠1=∠2，
∵OD=OB，OC=OC，
∴△ODC≌△OBC，
∴∠ODC=∠OBC．
∵OB是⊙O的半径，BC是⊙O的切线，
∴BC⊥OB．
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴CD⊥OD．
∴CD是⊙O的切线．
再证点P平分线段DE．
过A作⊙O的切线AF，交CD的延长线于点F，则FA⊥AB．
∵DE⊥AB，CB⊥AB，
∴FA∥DE∥CB，
∴
=
．
在△FAC中，
∵DP∥FA，
∴
=
即
=
．
∵FA、FD是⊙O的切线，
∴FA=FD，
∴
=
．
在△ABC中，
∵EP∥BC，
∴
=
．
∵CD、CB是⊙O的切线，
∴CB=CD，
=
，
∴
=
，
∴DP=EP，
∴点P平分线段DE．
证明：先证明CD是⊙O的切线．连接OD，
∵OC∥AD，
∴∠1=∠ADO，∠2=∠DAO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠1=∠2，
∵OD=OB，OC=OC，
∴△ODC≌△OBC，
∴∠ODC=∠OBC．
∵OB是⊙O的半径，BC是⊙O的切线，
∴BC⊥OB．
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴CD⊥OD．
∴CD是⊙O的切线．
再证点P平分线段DE．
过A作⊙O的切线AF，交CD的延长线于点F，则FA⊥AB．
∵DE⊥AB，CB⊥AB，
∴FA∥DE∥CB，
∴
| FD |
| FC |
| AE |
| AB |
在△FAC中，
∵DP∥FA，
∴
| DP |
| FA |
| DC |
| FC |
| DP |
| DC |
| FA |
| FC |
∵FA、FD是⊙O的切线，
∴FA=FD，
∴
| DP |
| DC |
| FD |
| FC |
在△ABC中，
∵EP∥BC，
∴
| EP |
| BC |
| AE |
| AB |
∵CD、CB是⊙O的切线，
∴CB=CD，
| EP |
| DC |
| AE |
| AB |
∴
| DP |
| CD |
| EP |
| CD |
∴DP=EP，
∴点P平分线段DE．
点评：本题考查了切线的判定和性质，从三角形的全等出发，从平行得到DP=EP．
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