Question

如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，OA、OC分别在x，y轴上，点D在OA上，且CD=AD，
（1）求直线CD的解析式；
（2）求经过B、C、D三点的抛物线的解析式；
（3）在上述抛物线上位于x轴下方的图象上，是否存在一点P，使△PBC的面积等于矩形的面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据D的坐标是（3，O），点C的坐标是（0，4），代入解析式即可得出直线CD的解析式为y=kx+b，求出即可；
（2）利用B、C，D三点坐标分别为（8，4），（0，4）．（3，O），得出抛物线解析式求出即可；
（3）由抛物线的对称性可知．以抛物线顶点为P的△PBC面积为最大，进而得出答案即可．

解答：解：（1）设OD=x，则CD=AD=8-x．
∴（8-x）²-x²=16．
∴x=3，D的坐标是（3，O），
又点C的坐标是（0，4），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
于是有

b=4 3k+b=0

，
∴y=-

4

3

x+4．

（2）由题意得B、C，D三点坐标分别为（8，4），（0，4）．（3，O），设抛物线解析式为y=ax²+bx+c
则有

64a+8b+c=4 c=4 9a+3b+c=0

于是可得抛物线解析式为：y=

4

15

x²-

32

15

x+4．

（3）在抛物线上不存在一点P，使△PBC的面积等于矩形ABCD的面积．
理由是：由抛物线的对称性可知．以抛物线顶点为P的△PBC面积为最大．
由y=

4

15

x²-

32

15

x+4=

4

15

（x-4）²-

4

15

可得，顶点坐标为（4，-

4

15

）．
则△PBC的高为4+|-

4

15

|=

64

15

．
∴△PBC的面积为

1

2

×8×

64

15

=

256

15

小于矩形ABCD的面积为4×8=32．
故在x轴下方且在抛物线上不存在一点P，使△PBC的面积等于矩形ABCD的面积．

点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数与二次函数解析式，利用已知得出以抛物线顶点为P的△PBC面积为最大求出是解决问题的关键．