Question

【题目】在平面直角坐标系中，对于点，如果点的纵坐标满纵坐标满足： ，那么称点为点的“关联点”.

（1）请直接写出点的“关联点”的坐标____________；

（2）若点在函数的图像上，其“关联点”与点重合，求点的坐标；

（3）若点的“关联点”在函数的图像上，当时，求线段的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（3,2）；（2）（4,2）；（3）当m≥n时，MN有最大值为14；当m＜n时，线段MN的最大值为2.

【解析】

（1）根据关联点的定义，即可得到答案；

（2）根据关联点的定义，可得到Q点坐标，根据点重合，得到方程，解方程即可得到答案；

（3）根据关联点的定义，分成两种情况，当m≥n时，与当m＜n时，在每种情况下，求出N的坐标，根据平行于y的直线上的两点的距离，可得到二次函数，然后根据二次函数性质求函数的最大值即可.

（1）∵3＜5，根据关联点定义

∴y’=5-3=2

故点（3,5）的“关联点”的坐标为（3,2）.

（2）P在函数y=x-2的图像上

设P点坐标为（x，x-2）

∵x＞x-2，根据关联点定义得到Q点（x，2）

又因为P、Q重合，所以有2=x-2，得到x=4

∴P点坐标为（4,2）.

（3）点的“关联点”是，共分两种情况考虑.

①当m≥n时，点N的坐标为（m，m-n）

∵N在二次函数上

∴m-n=2m2，得到n=-2m2+m，

∴yM =-2m2+m，yN=2m2

∴MN=丨yM- yN丨=丨-4m2+m丨

当0≤m≤，-4m2+m≥0，

MN=-4m2+m=-4（m-）2+

∴当m=时，线段MN的最大值为.

当＜m≤2时，-4m2+m＜0，

∴MN=4m2-m=4（m-）2-，当m=2时，MN有最大值为14

∴当m≥n时，MN有最大值为14；

②当m＜n时，点N的坐标为（m，n-m）

∵N在二次函数上

∴n-m=2m2，即n=2m2+m

∴yM =2m2+m，yN=2m2

∴MN=丨yM- yN丨=丨m丨

∵

∴MN=m

当m=2时，线段MN的最大值为2.

即当m＜n时，线段MN的最大值为2.

∴综上，当m≥n时，MN有最大值为14；当m＜n时，线段MN的最大值为2.