Question

如图，在?ABCD中，AB=5，AD=10，cosB=，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，连接DF，求DF的长．

Answer 1

解：延长DC，FE相交于点H．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD，AD=BC，
∴∠B=∠ECH，∠BFE=∠H．
∵AB=5，AD=10，
∴BC=10，CD=5．
∵E是BC的中点，
∴BE=EC=BC=5．
在△BFE和△CHE中，
，
∴△BFE≌△CHE（AAS），
∴CH=BF，EF=EH．
∵EF⊥AB，
∴∠BFE=∠H=90°．
在Rt△BFE中，
∵cosB==，
∴BF=CH=3．
∴EF=，DH=8．
在Rt△FHD中，∠H=90°，
∴DF²=FH²+DH²=8²+8²=2×8²．
∴DF=8．
分析：首先延长DC，FE相交于点H，由四边形ABCD是平行四边形，E是BC的中点，易得△BFE≌△CHE，又由cosB=，EF⊥AB，在Rt△BFE中，由三角函数的定义，可求得BF的长，由勾股定理，可求得EF、DH的长，然后在Rt△FHD中，由勾股定理，求得DF的长．
点评：此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．