Question

如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60°，E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒2

3

cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒．
（1）当点P在线段AO上运动时．
①请用含x的代数式表示OP的长度；
②若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）显然，当x=0时，四边形PBEQ即梯形ABED，请问，当P在线段AC的其他位置时，以P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）①根据菱形的性质求出OA的长度，再求出AP的长等于2

3

x，OP的长即可求出；
②过E作EH⊥BD于H，表示出BQ的长等于2-x，分别求出△BPQ和△BEQ的面积，两个三角形的面积之和就是四边形PBEQ的面积为y．（2）根据梯形的定义，可以分三种情况讨论：
①PQ∥BE时，因为∠EBQ=30°，所以∠PQO=30°，再利用∠PQO的正切值列出算式即可求解，
②PE∥BQ时，因为点E是CD的中点，所以点P是CO的中点，根据AP的长度等于速度乘以时间列出算式即可求出；
③EQ∥BP时，过E作EH⊥DO，垂足为H，得到△QEH与△BPO相似，再根据相似三角形对应边成比例列出等式即可求出x的值．

解答：解：（1）①由题意得∠BAO=30°，AC⊥BD，
∵AB=2，
∴OB=OD=1，OA=OC=

3

，
∴OP=

3

-2

3

x，（2分）
②过点E作EH⊥BD，则EH为△COD的中位线，
∴EH=

1

2

OC=

3

2

，
∵DQ=x，
∴BQ=2-x，
∴y=S_△BPQ+S_△BEQ=

1

2

×（2-x）（

3

-2

3

x）+

1

2

×（2-x）×

3

2

，
=

3

x2-

11 3

4

x+

3 3

2

；（3分）

（2）能成为梯形，分三种情况：

①当PQ∥BE时，∠PQO=∠DBE=30°，
∴

OP

OQ

=tan30o=

3

3

，
即

3 -2 3 x

1-x

=

3

3

，
∴x=

2

5

，
此时PB不平行QE，
∴x=

2

5

时，四边形PBEQ为梯形．（2分）

②当PE∥BQ时，P为OC中点，

∴AP=

3 3

2

，即2

3

x=

3 3

2

，
∴x=

3

4

，
此时，BQ=2-x=

5

4

≠PE，
∴x=

3

4

时，四边形PEQB为梯形．（2分）

③

当EQ∥BP时，过E作EH⊥DO，垂足为H，
∴△QEH∽△BPO，
∴

HE

OP

=

QH

BO

，
∴

3 2

2 3 x- 3

=

x- 1 2

1

，
∴x=1（x=0舍去），
此时，BQ不平行于PE，
∴x=1时，四边形PEQB为梯形．（2分）
综上所述，当x=

2

5

、

3

4

或1时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形．

点评：本题考查菱形的性质及梯形的判定方法，熟练掌握性质和定义是解本题的关键．本题还要注意说明以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形时，因为底边不确定，所以一定要分情况讨论．