题目内容

已知 $数学公式$ ， $数学公式$ 且x≠y，求 $数学公式$ 的值．

解：∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴x²+ $\text{[math]}$ y=y²+ $\text{[math]}$ x，
∴x²-y²= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ y，
∴（x-y）（x+y- $\text{[math]}$ ）=0，
∵x≠y，
∴x+y= $\text{[math]}$ ．
又∵x²+y²=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ y）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x）=2 $\text{[math]}$ -2，
∴x²+y²+2xy=（x+y）²=2，
即2 $\text{[math]}$ -2+2xy=2，
∴xy=2- $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：由于 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故只需分别求出x²+y²与xy的值即可．而由已知等式易知x²+y²=2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （x+y），故先求出x+y的值，再代入计算出x²+y²的值，然后结合完全平方公式得出xy的值．通过观察发现，两个等式的右边都是 $\text{[math]}$ ，所以左边相等，得到x²+ $\text{[math]}$ y=y²+ $\text{[math]}$ x，将它变形，可得x+y= $\text{[math]}$ ①；进一步计算出x²+y²=2 $\text{[math]}$ -2②，把①式两边平方，再将②式代入，可得xy=2- $\text{[math]}$ ③，然后将所求式子通分，把②③代入，即可求出其值．
点评：本题主要考查了完全平方公式及代数式求值，难度中等，关键是求出x+y的值．