题目内容

已知如图，一次函数的图象经过第一，二，三象限，且与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，OB= $数学公式$ ，tan∠DOB= $数学公式$
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点A的横坐标为m，△ABO的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当△OCD的面积等于 $数学公式$ ，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3？如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由．

解：（1）过点A作AG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，在Rt△OHB中，
∵tan∠HOB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴HO=3BH，
由勾股定理得，BH²+HO²=OB²，
又∵OB= $\text{[math]}$ ，
∴BH²+（3BH）²=（ $\text{[math]}$ ）²，
∵BH＞0，
∴BH=1，HO=3，
∴点B（-3，-1），
设反比例函数的解析式为y= $\text{[math]}$ （k₁≠0），
∵点B在反比例函数的图象上，∴k₁=3，
∴反比例函数的解析式为y= $\text{[math]}$ ．

（2）设直线AB的解析式为y=k₂x+b（k₂≠0），由点A在第一象限，得m＞0，
又有点A在函数y= $\text{[math]}$ 的图象上，可求得点A的纵坐标为（m， $\text{[math]}$ ）．
因为tan∠DOB= $\text{[math]}$ ，OB= $\text{[math]}$ ，
设BH=a，则HO=3a，
于是根据勾股定理，a²+9a²=10，
解得a=±1，
则B点坐标为（-3，-1）．
把A、B两点坐标分别代入解析式得： $\text{[math]}$ ，
解得k= $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ，
函数解析式为y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
得C（0， $\text{[math]}$ ）．
于是S= $\text{[math]}$ （m+3）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
于是0＜m＜3．

（3）A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能等于3，
设过B（-3，-1），A（1，3）的抛物线解析式为y=ax²+bx+c，

可得 $\text{[math]}$ ，
解得b=2a+1，c=2-3a，
又因为A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长等于3，
所以设A（x₁，0），（x₂，0），x₂＞x₁，
可得x₂-x₁=3，两边平方得（x₂+x₁）²-4x₁x₂=9，
根据根与系数的关系（- $\text{[math]}$ ）²-4• $\text{[math]}$ =9，将c=2-3a，b=2a+1代入，
得16a²-13a+1=0，
a= $\text{[math]}$ ，
当a= $\text{[math]}$ 时，b=2a+1= $\text{[math]}$ ，c= $\text{[math]}$ ；
当a= $\text{[math]}$ 时，b= $\text{[math]}$ ，c= $\text{[math]}$
即A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能等于3，
函数的解析式是y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 或y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据tan∠DOB= $\text{[math]}$ 可知Rt△OHB中两直角边的比，又因为OB=10，所以可根据勾股定理求出点B的坐标，进而求出解析式；
（2）已知A点横坐标m，代入反比例函数解析式，可求出A点坐标，根据OB= $\text{[math]}$ 和tan∠DOB= $\text{[math]}$ ，可利用勾股定理求出B点坐标；
把A、B两点坐标分别代入一次函数y=k₂x+b的解析式，解方程组得到k₂和b的值（用m表示），然后根据一次函数的性质，求出C点坐标，即得出OC的长，再求出以OC为底边，以A、B两点横坐标的绝对值为高的两个三角形△OCA和△COB的面积之和；
（3）设出抛物线解析式，将B（-3，-1），A（1，3）分别代入解析式，求出b的值以及a、c的关系式，再根据根与系数的关系解答．
点评：此题将一次函数、二次函数、反比例函数结合起来，有很强的综合性．根据图象交点坐标能求出相应线段的长，转化为一元二次方程根与系数的关系解答．