Question

已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=6，点D在边BC上，点E在线段DC上，DE=3，△DEF是等边三角形，边DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N．
（1）求证：△BDM∽△CEN；
（2）当点M、N分别在边BA、CA上时，设BD=x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；
（3）是否存在点D，使以M为圆心，BM为半径的圆与直线EF相切，如果存在，请求出x的值；如不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）两三角形中，AB=AC可得出∠B=∠C，三角形DEF是等边三角形可得出∠FDB=∠FEC=120°由此可证得两三角形相似．
（2）重合部分的面积应该是三角形ABC的面积-三角形BDM和CEN的面积和．那么要先求出三角形BDM和CEN的面积，由于∠B=∠C=30°，∠FDE=60°，∠BMD=∠C=30°，三角形BDM和BAC相似，那么可根据面积比等于相似比的平方用三角形ABC的面积求出三角形BDM的面积．同理可求出三角形CEN的面积，进而可得出重合部分的面积．
（3）如果存在EF于圆M相切的情况，那么如果过M作EF的垂线MG，那么MG=BM，可在三角形BDM中用BD来表示出BM，因为BD=DM，所以可以用BD表示出FM，进而在直角三角形FMG中表示出MG，然后让这两个含x的式子相等即可求出x的值．

解答：证明：（1）∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE=∠FED．
∴∠MDB=∠NEC．
∴△BDM∽△CEN．

（2）过A作AH⊥BC垂足为H，∵∠B=30°，BC=6，
∴BH=3，AH=

3

，AB=2

3

．
∴S_△ABC=

1

2

×6×

3

=3

3

．
∵∠B=∠B，∠BMD=∠C，
∴△BDM∽△BAC．
∴

S△BDM

S△ABC

=(

BD

AB

)2，

S△BDM

3 3

=(

x

2 3

)2．
∴S_△BDM=

3

4

x²同理求得S_△NEC=

3

4

（3-x）²
∴y=3

3

-

3

4

x²-

3

4

（3-x）²=-

3

2

x²+

3 3

2

x+

3 3

4

（1≤x≤2）．

（3）假设存在点D，使以M为圆心，BM为半径的圆与直线EF相切．
过点M作MG⊥EF垂足为G，则MG=BM，
在△BDM中，过点D作DP⊥BM垂足为P，
∵BD=x，∠B=30°，
∴BP=

3

2

x，BM=

3

x．
∵BD=DM，FD=DE=3，
∴FM=3-x．
∵在RT△FMG中，∠F=60°，
∴MG=

3 (3-x)

2

．
∴

3

x=

3 (3-x)

2

．
解得x=1．
所以当BD的长为1时，以M为圆心，BM为半径的圆与直线EF相切．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质，切线的判定以及相似三角形的性质等知识点，运用好各特殊度数的角是解题的关键．