题目内容

已知a²+3a+1=0，求（1）a²+ $数学公式$ ；（2）a⁴+ $数学公式$ ．

解：（1）根据题意，将等式a²+3a+1=0两边同时除以a（a≠0）得： $\text{[math]}$ ，
两边同时平方得： $\text{[math]}$ =9
∴ $\text{[math]}$ ；
（2）由（1）得 $\text{[math]}$ ，两边再次平方，得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =（a²+ $\text{[math]}$ ）²-2=49-2=47．
分析：解决这类求值题时，应先观察题目的特点，就本题而言，如果想通过已知条件求出字母a的值再代入，可能比较困难，所以应考虑利用转化及整体思想解题．结合所给已知条件，不难将其转化为 $\text{[math]}$ ，这样就可以依次求得 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的值了．
点评：分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．