Question

如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=9，AE=6，过D、E两点作直线L₁与BC所在的直线L₂交于点F．点O是直线L₁与直线L₂间的一动点，以O为圆心作⊙O，使⊙O与L₁相切，又同时与矩形两边所在的直线相切，此时圆的半径是

1或3

．

Answer 1

分析：因为圆的位置不确定，所以需要分类讨论：①⊙O是△EFB的内切圆；②⊙O是△FCD的内切圆，再根据直角三角形的内切圆的半径为r=

a+b+c

2

计算即可．

解答：解：∵矩形ABCD中，AD=8，AB=9，AE=6，
∴BE=3，ED=10．
①如图1所示：
∵BE∥CD，
∴△FBE∽FCD，
∴

BE

CD

=

FB

FC

，
∴FB=4，
由勾股定理得：EF=5，
∴此时圆的半径是

a+b+c

2

=

4+3-5

2

=1；

②如图2所示：
FD=DE+EF=15，FC=FB+BC=4+8=12，CD=9，
∴此时圆的半径是

a+b+c

2

=

12+9-15

2

=3，
故答案为：1或3．

点评：本题考查了矩形的性质、勾股定理的运用、相似三角形的判定和性质以及直角三角形内切圆的半径和三边的数量关系，题目的综合性不小，并且注意分类讨论思想的运用．