Question

如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点E．
（1）求证：PA=PE；
（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图2），且AD=10，DC=8，求AP：PE；
（3）在（2）的条件下，当P滑动到BD的延长线上时（如图3），请你直接写出AP：PE的比值．

Answer 1

【答案】分析：（1）过P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，四边形BMPN是正方形，得出PM=PN，∠MPN=90°，求出∠APM=∠NPE，∠AMP=∠PNE，证△APM≌△EPN，推出AP=PE即可；
（2）证△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，得出=，=，推出=，求出==，证△APM∽△EPN，推出=即可；
（3）过P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，证△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，得出=，=，推出=，求出==，证△APM∽△EPN，推出=即可．
解答：
（1）证明：过P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∴∠MPB=45°=∠ABD，
∴PM=BM，
同理BP=BN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°=∠BMP=∠BNP，
∴四边形BMPN是正方形，
∴PM=PN，∠MPN=90°，
∵∠APE=90°，
∴都减去∠MPE得：∠APM=∠NPE，
∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠AMP=∠PNE，
在△APM和△EPN中

∴△APM≌△EPN（ASA），
∴AP=PE；

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠C=90°，
∵∠PMB=?PNB=90°，
∴PM∥AD，PN∥CD，
∴△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，
∴=，=，
∴=，
∴===，
∵∠AMP=∠ENP=90°，∠MPA=∠EPN，
∴△APM∽△EPN，
∴==，
AP：PE=5：4；

（3）解：AP：PE=5：4．
点评：本题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，证明过程类似．