Question

（2013•瑞安市模拟）如图等腰直角三角形CAB绕着直角顶点C逆时针旋转45°后得到等腰直角三角形CDE，连结AE分别交CD、CB于点F、G，若△CFG的面积为2，则图中阴影部分面积为

8+6

2

．

Answer 1

分析：设AB与DE的交点为M．连接CM，则有图形的对称性可知：CM垂直平分AE，首先利用已知条件证明三角形ECM是等腰三角形，进而证明四边形CFMG是菱形，因为△CFG的面积为2，进而得到x²的值，再根据阴影部分面积为S_△CDE+S_△MBH+S_△EHG-S_△CEG=可求问题答案．

解答：解：设AB与DE的交点为M．连接CM，则有图形的对称性可知：CM垂直平分AE，
∴AM=EM，
∵CD⊥AB，CB⊥DE，
若设MH=BH=x，则MD=MB=

2

x，
∴AB=2（x+

2

x），
∴CB=CD=

2

2

AB=2x+

2

x，CH=xME=DE-MD=AB-MB=（2x+2

2

x）-

2

x=CD=CB=CA，
∴△ECM是等腰三角形，
∴AE垂直平分CM，
∴四边形CFMG是菱形，
∴GM∥CF，CF⊥AB，
∴GH=HB=x，CG=CB-2x=

2

x，
∵S_△CFG=

1

2

CF•CGsin45°=2，
∴x²=2

2

，
∴阴影部分面积为=S_△CDE+S_△MBH+S_△EHG-S_△CEG=8+6

2

，
故答案为：8+6

2

．

点评：本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、旋转的性质、菱形的判断和性质以及锐角三角函数的运用，题目的综合性很强，难度过大．