Question

（2013•徐汇区一模）如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，△ABC，△BCD．AB=

2

AC，BC=4．
（1）求CD的长；                                    
（2）设

AB

=

a

，

AC

=

b

，求向量

CD

（用向量

a

、

b

表示）．

Answer 1

分析：（1）利用两边及其夹角的方法判断△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性质可得出CD．
（2）表示出

AD

，继而根据

CD

=

AD

-

AC

，即可得出答案．

解答：解：（1）∵点D是边AB的中点，AB=

2

AC，
∴AD=

1

2

AB=

2

2

AC，
∴

AD

AC

=

2

2

，

AC

AB

=

1

2

=

2

2

，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
又∵∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴

CD

BC

=

AC

AB

，即

CD

4

=

2

2

，
∴CD=2

2

．
（2）∵点D是边AB的中点，
∴

AD

=

1

2

AB

=

1

2

a

，
∴

CD

=

AD

-

AC

=

1

2

a

-

b

．

点评：本题考查了平面向量、相似三角形的判定与性质，注意熟练掌握相似三角形判定的三种方法，难度一般．