Question

（2013•徐汇区一模）梯形ABCD中，AB∥CD，CD=10，AB=50，cosA=

4

5

，∠A+∠B=90°，点M是边AB的中点，点N是边AD上的动点．
（1）如图1，求梯形ABCD的周长；        
（2）如图2，联结MN，设AN=x，MN•cos∠NMA=y（0°＜∠NMA＜90°），求y关于x的关系式及定义域；
（3）如果直线MN与直线BC交于点P，当P=∠A时，求AN的长．

Answer 1

分析：（1）过点C作CF∥AD，交AB于点F，得出平行四边形和直角三角形，求出AD，BC即可；
（2）过点N作NQ⊥AB，垂足为Q，求出y=MQ，求出AQ和AM，相减即可得出答案；
（3）分别延长AD、BC交于点E，连接EM，分为两种情况，1°当点P在CB的延长线上时，2°当点P在BC的延长线上时，画出图形，结合图形求出线段的长，即可得出答案．

解答：解：（1）过点C作CF∥AD，交AB于点F，如图1，
∴∠CFB=∠A，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠CFB+∠B=90°，
∴∠FCB=90°，
∵AB∥CD，
∴四边形CDAF是平行四边形，
∴CF=AD，AF=CD=10，
∴BF=AB-AF=40
在Rt△BCF中，∠FCB=90°，∴cos∠CFB=

CF

BF

，
∴CF=BF•cos∠CFB=40×

4

5

=32=AD，
∴BC=

BF2-CF2

=

402-322

=24，
∴C_ABCD=10+32+50+24=116．

（2）过点N作NQ⊥AB，垂足为Q，
∴∠NQA=∠NQM=90°，
∴cosA=

AQ

AN

，
∴AQ=AN•cosA=

4

5

x，
∴cos∠NMA=

MQ

MN

，
∴MQ=MN•cos∠NMA=y，
∵点M是边AB的中点，
∴AM=

1

2

AB=25，
∴y=25-

4

5

x；
定义域是0＜x＜

125

4

．

（3）分别延长AD、BC交于点E，连接EM．
∵∠A+∠B=90°，∴∠AEB=90°，AM=EM=BM=25，
∴AE=AB•cosA=50×

4

5

=40．
直线MN与直线BC交于点P，
当∠P=∠A时，分两种情况：1°当点P在CB的延长线上时，如图4，
∵BM=EM，
∴∠BEM=∠EBM，
∵∠A+∠ABE=90°，
∴∠P+∠MEB=90°，
∴∠EMP=∠EMN=90°，
∵AM=EM，
∴∠AEM=∠A，
∴cos∠AEM=

EM

EN

，
∴EN=

EM

cosA

=

25

4 5

=

125

4

，
∴AN=AE-EN=40-

125

4

=

35

4

；
2°当点P在BC的延长线上时，如图5，
∵∠P+∠PNE=90°，∠ANM=∠PNE，
∴∠A+∠ANM=90°，
∴∠AMN=90°，
∴cosA=

AM

AN

，
∴AN=

AM

cosA

=

25

4 5

=

125

4

，
综合1°、2°，当∠P=∠A时，AN=

35

4

或

125

4

．

点评：本题考查了梯形性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，直角三角形斜边上中线性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，难度偏大．