Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，M、N分别为BD、AC的中点，AB=4，AD=2，∠ABC=60°，则CD的长为

 

，MN的长为

 

．

Answer 1

分析：过A点作AE⊥BC，垂足为E，延长NM交AB于F，根据直角梯形的性质可知AE=CD，在Rt△AEB中，AB=4，∠ABC=60°，求出AE的长，于是求出CD的长，根据题干条件可以求出FN是三角形ABC的中位线，MF是三角形ABD的中位线，根据中位线的知识求出FN和FM的长，于是即可求出MN的长．

解答：解：过A点作AE⊥BC，垂足为E，延长NM交AB于F，
∵直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，
∴AE=CD，
在Rt△AEB中，AB=4，∠ABC=60°，
∴sin∠ABE=

AE

AB

=

3

2

，
∴AE=2

3

，
∴CD=2

3

，
∴BE=2，
∵M、N分别为BD、AC的中点，
∴F点也是AB的中点，
∴FN是三角形ABC的中位线，
∴FN=

1

2

BC=

1

2

（BE+EC）=

1

2

（2+2）=2，
∵MF是三角形ABD的中位线，
∴FM=

1

2

AD=1，
∴MN=FN-FM=1．
故答案为2

3

、1．

点评：本题主要考查直角梯形和三角形中位线定理的知识点，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质和三角形中位线的相关知识，此题难度不大．