Question

“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F．
（1）探索∠ECB和∠ACB的数量关系，并证明你的结论．
（2）若∠ACG=40度，GF=4，求长方形ABCD的周长．

Answer 1

考点：矩形的性质,等腰三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形,勾股定理

专题：

分析：（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGC=2∠F，从而得到∠ACG=2∠F，根据两直线平行，内错角相等可得∠ECB=∠F，再求出∠ACB=3∠F，从而得解；
（2）先求出∠ACB=60°，再根据等角对等边可得AC=AG=GF，然后求出AB、BC，再根据矩形的周长的定义列式计算即可得解．

解答：解：（1）∠ACB=3∠ECB．
理由如下：在△AGF中，∠AGC=∠F+∠GAF=2∠F，
∵∠ACG=∠AGC，
∴∠ACG=2∠F，
∵AD∥BC，
∴∠ECB=∠F，
∴∠ACB=∠ACG+∠BCE=3∠F，
故∠ACB=3∠ECB；

（2）∵∠ACG=40°，
∴∠F=

1

2

×40°=20°，
∴∠ACB=3×20°=60°，
∵∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F，
∴AC=AG=GF=4，
∴AB=4×

3

2

=2

3

，BC=4×

1

2

=2，
∴长方形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（2

3

+2）=4

3

+4．

点评：本题考查了矩形的性质，等角对等边的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，解直角三角形，熟记各性质并读懂题目信息理解三等分角的方法是解题的关键．