Question

18、定义：到四边形一组对边距离相等，到另一组对边的距离也相等的点叫做这个四边形的准内点．如图甲，PE=PF，PG=PH，则点P就是四边形ABCD的准内点．
如图乙，∠ARD与∠CSD的角平分线相交于点P，根据角平分线的性质可以得出点P是就是四边形ABCD的准内点．


请你分别画出平行四边形（图1）和梯形（图2）的准内点，并简要说明准内点的位置．


画图：

说明：
（1）

对角线AC、BD的交点P即为平行四边形ABCD的准内点

．

（2）

∠BSC的角平分线ST与梯形中位线MN的交点P即为梯形ABCD的准内点

．

Answer 1

分析：如图（1）只要证得PJ=PH，PG=PI，即可得出结论；通过证明△PEJ≌△PEH和△PGF≌△PIF即可得出；
（2）根据平行四边形的性质，对角线互相平分，可得出交点既是准内心，根据角平分线的性质定理和梯形中位线的性质定理，可得梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点即为准内心，

解答：解：（1）证明：作PI⊥FD，PJ⊥DE，PG⊥AF，PH⊥EC，
∵EP平分∠DEC，
∴∠PED=∠CEP，
在△PEJ和△PEH中，
∠PED=∠CEP，PE=PE，∠PHE=∠PJE，
∴△PEJ≌△PEH，
∴PJ=PH，
同理，可证△PGF≌△PIF，
∴PG=PI，
∴点P是四边形ABCD的准内心；
（2）平行四边形对角线AC、BD的交点P₁就是准内心，如图3（1），
或者取平行四边形两对边中点连线的交点P₁就是准内心，如图3（2），
梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点P₂就是准内心，如图4．

点评：本题主要考查了多边形的准内心，用到的知识点是角平分线、中位线的性质定理；可通过证明三角形全等来证得结论，难度适中．